Réalisateur :  Nicolas Stern

mathématicien :  Jean-Michel Kantor, Jean Oesterlé (remarquable de clarté et agréable)

Thème : Géométrie des nombres.

Empilements de sphères : les sphères de Kepler.

Y a-t-il encore en 1990 quelque chose à découvrir en mathématique ?

Les problèmes liés aux empilements de sphères se rencontrent très souvent dans des situations diverses (balles de Ping Pong, billes, balles de tennis, atomes, planètes, étoiles) et ont de nombreuses applications.

• « treize à la douzaine ». Au 17 siècle il y a eu une controverse entre Isaac Newton (1642 – 1727) et James Gregory (1638 – 1675) le premier affirmant qu’il existait douze sphères qui touchent une sphère donnée et le second treize.

On analyse comment un épicier fait pour empiler ses oranges (mais il y a d’autres méthodes

d’empilement), aucune des 12 ne touchant les autres :

on pouvait espérer qu’en les déplaçant un peu

 on pouvait gagner la place d’une treizième. En fait la solution fut affirmée à la fin

Du XIXe*siècle – mais sans preuve vraiment satisfaisante et le problème ne fut résolu, et cela négativement, qu’en 1953 : il n’y a que douze boules qui touchent une sphère.

• Par le biais d’une trace de pas dans le sable, qui modifie l’empilement des grains de sable, le film aborde ensuite les problèmes de densité maximum et de desserrements de l’empilement. Quand on jette en vrac des billes dans une caisse, le rapport entre le volume de la caisse et la somme de celui des billes est de 60% (40% d’air). Si on secoue un peu on obtient un rapport de 64%. l serait très intéressant pour les mathématiciens de l’expliquer car cela permettrait d’expliquer la répartition des atomes dans un fluide, pour cerner le problème de densité des liquides.

Au laboratoire de l’École des Ponts et Chaussées on étudie les empilements de grains en vue de modéliser le transport des polluants dans les nappes phréatiques et l’écoulement de l’eau dans les chaussées poreuses.

En dimension 2, pour les cercles on trouve une densité de 78% pour une répartition où les centres forment des carrés,

mais 0.9069 quand la répartition est hexagonale. En dimension 3 on obtient une seule répartition cubique ou hexagonale qui donnent le même empilement avec la même densité de 74%, qui semble être un maximum.

1. Johannes Kepler (1571 – 1630) dès 1611 posa le problème de la recherche des empilements plus denses. En 1990 Chiang à Berkeley a annoncé que le problème était résolu, mais au moment du tournage, aucun manuscrit n’ayant été publié les calculs n’ont pas encore été vérifiés.
2. Les mathématiciens étudient aussi des empilements de sphères en très grande dimension (supérieure à 3). Le film montre alors la projection d’un hypercube en dimension 4.

Les empilements de sphères s’appliquent dans le codage du son dans le téléphone : le son est converti en chaînes numériques ; cette conversion utilise des empilements de sphères dans des espaces à grande dimension. Le problème est d’obtenir de bons codages sans erreur. On a montré que ce problème de codage numérique était très proche de celui des empilements de sphères.

Ce film est remarquable et captivant d’un bout à l’autre en dépit de la faiblesse des moyens techniques utilisés. L’attention ne se relâche pas, grâce à un problème dont la solution est compliquée, mais le sujet est saisi immédiatement même par un non scientifique.

Pour en savoir plus :

3. Martin Gardner, Nouveaux divertissements mathématiques, p. 70 à 78, Dunod, 1970.
4. Problème P4, Le Nouvel Archimède 110, 31-32, 1986 (Empilements de cercles sur la surface d’une sphère : on peut en placer 21 ; le maximum théorique est de 23).
5. Les mathématiques d’aujourd’hui, loc. cit., p. 43 à 63 (lien entre la densité des empilements de sphères en dimension 24 et le codage des transmissions numériques – réseaux de Leech).
6. Per Bak & Kan Chen, Les systèmes critiques autoorganisés, Pour la Science 160, 52-60 (voir
7. 55, la constitution des tas de sable), 1991.

Pour voir évoluer un hypercube à 4 dimensions.

• The 4-dimensional cube, Lascaux Graphix (que l’on peut commander à l’adresse suivante : 3220 Steuben Avenue, Bronx, NY 10467, Etats-Unis – la disquette d’accompagnent donne un programme en Turbo Pascal).