Réalisateur : Jean Paul Fargier
mathématicien : Jean Pierre KAHANE (Paris Sud)
Thème : Naissance des séries de Fourier ; analyse de Fourier.
Pendant 100 ans environ, de 1860 à 1950 : les mathématiciens en ont beaucoup voulu à Joseph Fourier, pour avoir considéré comme évidentes des choses trop difficiles à démontrer.
Maintenant il apparaît comme un novateur grâce aux concepts qu’il a introduits et à son approche des mathématiques.
On rencontre partout des séries de Fourier. Dans l’exploration du ciel en astrophysique, en télécommunications, en prospection pétrolière et dans la synthèse des sons.
Jean Baptiste Joseph Fourier (1768 – 1830) est un pur produit de la Révolution Française.
Élève de l’École Normale en l’An Trois où i suivit l’enseignement des plus grands savants de l’époque, il suivit Gaspard Monge (1746 – 1818)
Lors de l’expédition de Bonaparte en Égypte en 1798, où il devint secrétaire de l’Institut Français d’Égypte. Il fut nommé par Napoléon en 1801 préfet de l’Isère, puis il devint en 1817 secrétaire perpétuel de l’Académie des Sciences.
On lui doit la théorie analytique de la chaleur. Ne cherchant pas à élucider la nature de la chaleur, il propose un modèle pertinent de sa propagation à partir de l’équilibre des températures, modèle encore utilisé par les ingénieurs et les physiciens (il établit comment se répartit la température dans un solide carré, dont le fond est chauffé à 100° et les parois sont à 0°).
L’équation des cordes vibrantes
présente une très grande similitude avec celle de
la chaleur en équilibre 
cette analogie s’explique par le passage par les variables complexes
f(x+t) + f(x-t) ouf (y + it) + f (y – it) et par les solutions élémentaires sin(nx) cos(nx) et sin (nx) exp(-ny) que l’on superpose.
L’idée de génie de Fourier est de décomposer la fonction créneau en harmoniques: l’origine des séries de Fourier repose sur l’analyse du signal ou d’une fonction par les coefficients de Fourier. La richesse du travail de Fourier repose sur la dualité analyse (recherche des coefficients de Fourier) et synthèse (reconstitution de la fonction à partir de la sommation de la série associée).
Ceci obligea les mathématiciens à préciser ce qu’il fallait entendre par intégrale, fonction et série. Ce retour aux fondements fut à l’origine des notions les plus générales de l’analyse mathématique.
Ainsi en 1870 le mathématicien allemand Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (1815- 1897) donna un exemple de fonction continue partout, dérivable nulle part
dont le graphe constitue un premier exemple d’ensemble fractal pour lequel l’invariance interne apparaît en effectuant des «zooms» successifs.
Ce film est une excellente analyse du thème
et la modélisation et éclaire les notions de série,
‘intégrale et de fonction »
Pour en savoir plus :
Se reporter à tous les cours classiques sur les séries de Fourier, l’analyse de Fourier, l’intégrale : Fourier, et la transformée de Fourier rapide dont les applications sont bien décrites dans L’ouvrage de W.P. Press, B.P. Flannery, S.A.
-asolsky & W.T. Vetterling, Numerical reci The art of scientific computing, Cambridge
University Press, 1986). Voir aussi l’ouvrage de
- Gasquet et P. Witomsky, Analyse de Fourier et applications : Filtrage, calcul numérique et ondelettes (Masson, 1990).