Réalisateur : Jean Paul Fagier

Mathématiciens : Philippe Pallu de la Barrière et Jean-Michel Kantor (Paris VII)

Thème : Le calcul des variations.

 

Jean Michel Kantor interroge le mathématicien professionnel Philippe Pallu de la Barrière sur les raisons de ses succès comme navigateur avec

« Charente Maritime ».

On découvre comment un mathématicien professionnel est amené à utiliser ses compétences pour son passe-temps.

Pour gagner une course à la voile, il faut utiliser des méthodes d’optimisation basées sur le calcul des variations en tenant compte de plusieurs paramètres : la structure du bateau et de la coque, la résistance à l’avancement, l’aérodynamique des voiles, le choix des routes.

1. Pour avoir du vent dans les voiles et choisir la route qui assure un vent suffisant, on est amené à tenir compte des courbes isobares et des performances possibles du bateau. Cela se traduit sous forme d’un graphe en coordonnées polaires entrant la direction et la force du vent. Suivant la disponibilité des voiles et les avaries, un programme calcule les routes optimales (au plus vite) en évitant les zones non ventées, pour utiliser au mieux le potentiel du bateau.
2. Pour rechercher la route la plus courte, il faut trouver les géodésiques. Quand il n’y a pas de contraintes c’est évidemment l’are de grand cerele qui joint le point de départ au point d’arrivée.

Pour gagner la course on est obligé de de faire un compromis entre la route la plus courte et la route la plus rapide ayant les vents les plus favorables, les alizés.

Un autre exemple est celui étudié par Galiléo Galilée (1564 – 1642) («e pur si muove») qui pensait que la route la plus rapide pour une bille sur un plan incliné était un arc de cercle. On a établi que c’est en fait un arc de cycloïde.

• Pour avoir la solution optimale on fait un compromis qui prend en compte la distance parcourue, la météorologie, et les performances du bateau en utilisant le calcul des variations inventé au 18 siècle par Leonhard Euler (1707 – 1783) et par Joseph Louis Lagrange (1736 – 1813) : Si on veut minimiser

il faut que soit vérifiée l’équation de Lagrange

• Pour choisir le chemin le plus rapide par exemple de la Rochelle à Quebec ou de la bille sur son plan incliné, on suppose le problème résolu. On prend un chemin voisin et on exprime que l’écart de trajet doit être du second ordre.

Le film fait une bonne analyse des problèmes posés et est bien illustré et documenté.

Pour en savoir plus :

Sur les problèmes de calcul des variations.

3. Concours de l’Agrégation de Mathématiques 1960, Epreuve d’Analyse.
4. Concours ENS 1981 appliqué.
5. Concours 1980 de chimie centre.

Sur la théorie du calcul des variations

• Favard, Cours d’Analyse de l’Ecole Polytechniques, tome III, fasc. 2, Théorie des Équations : Équations aux dérivées partielles, Équations intégrales, Calcul des variations, Gauthier Villars, 1963.
• Valiron, Cours d’Analyse mathématique : Equations fonctionnelles. Applications,

1950. 370 à 440, Masson, 1950.

Quant au problème « Brachistochrone » du temps le plus court sur le plan incliné, c’est Jacob Bernoulli (1654 – 1705) qui le résolut en 1696 en participant à un concours organisé par l’Académie des Sciences de Paris. Il montra que la solution est un arc de cycloïde : ceci est important en particulier dans les compétitions de ski (voir, par exemple ; Science et Vie, janvier 1991).