Articles Culture Math

Hébergement des 18 articles de Culture math en attendant que ce site soit restructuré…

https://culturemath.ens.fr/a-propos   https://eduscol.education.fr/cid45856/ecoles-normales-superieures.html

AVERTISSEMENT : cette liste est reconstituée provisoirement (en attendant que le site nouveau culture math soit finalisé, certaines images annoncées, ainsi que certains liens, dans les résumés n’y sont plus (dans cette reconstitution)

  1. Le théorème de JUEL et la surface de CLEBSCH (23 pages), (Le théorème de Juel) Article vu : 6 fois, depuis le : 02 Nov. 2020

    Résumé  : Cet article audacieux entreprend la recherche des 27 droites sur une surface cubique non réglée, avec représentation paramétrique, double six de Schlaffli, lien avec la théorie des groupes et même lien avec la théorie des super-cordes.

    L’auteur, dans un style très personnel, ne cache rien de toutes les étapes de sa recherche, et des problèmes divers soulevés et fournit même une photo du bijou offert à Juel le 25 janvier 1925, pour son jubilé scientifique (ci-contre). Utilisation dans l’enseignement : pour les classes préparatoires aux grandes écoles, en relation avec la théorie des surfaces et en illustration du groupe Psp4(F2)

    On trouvera une magnifique image en relief de la surface de Clebsch, réalisée par Alain Esculier pour l’article de Lazare Georges Vidiani, sur le site du Stéréo-Club Français (ci-contre en 2D). Cette image a remporté le 1er prix du Concours d’Images Scientifiques et Techniques 2006. Cette image se trouve également sur le site personnel d’Alain Esculier (cliquer sur l’image ci-contre), ainsi que bien d’autres représentations et splendides calculs Maple (ici même). (peut être absent pb du transfert culture math) 

  2. Racine carrée fonctionnelle, (Racine carrée fonctionnelle) Article vu : 4 fois, depuis le : 02 Nov. 2020 

    Inspiré du problème d’agrégation 1949 proposant de rechercher les fonctions g inconnues telles que g(g(x))=f(x) (f donnée), cet article, abondamment illustré par des exemples concrets, montre comment trouver les solutions et donne diverses applications très récentes de cette théorie (réseaux de neuronnes (et le fameux Perceptron), géographie pour la prédiction de l’occupation des sols, recherche des périodes en théorie du chaos, prédiction boursière, technique du laminage en industrie,…). Dans l’enseignement, il montre que des problèmes abstraits peuvent avoir de nombreuses applications pratiques. Par Lazare Georges Vidiani, Professeur de Mathématiques.
    Erratum (12 02 09 14h30) : 8 lignes de texte avant la fin de la page 1, remplacer (x/2)n=(y/2)m par x/2n=y/2m. 

  3. Les intégrales de Coxeter,  (Coxeter) Article vu : 4 fois, depuis le : 02 Nov. 2020, En 1926, H.S.M. Coxeter calcula certaines intégrales intervenant dans des calculs de volumes, lors de ses études du groupe cristallographique. Pour ce faire, il utilisa des méthodes géométriques avancées, et soumit la découverte d’une preuve « élémentaire » à la sagacité des lecteurs de la Mathematical Gazette. Seul le mathématicien Hardy trouva une réponse !

    Cet article se propose donc de calculer ces intégrales récalcitrantes (qui interviennent dans plusieurs champs de la géométrie) en n’utilisant pas de méthodes excédant le niveau Licence. Par ailleurs, l’auteur utilise un style très personnel rendant vivantes ses pérégrinations au milieu des concepts abstraits foisonnant autour de ces intégrales, et replace les idées dans leur contexte afin de ne pas noyer le lecteur dans la technique.

    Par Lazare Georges Vidiani, Professeur de Mathématiques, cet article est paru dans le numéro 50 de la revue Quadrature que nous remercions vivement (en particulier Olivier Courcelle qui nous a donné l’accord de publication en quelques heures !).

    Prérequis :
    • Une bonne habitude des calculs d’intégrales est fortement conseillée.
    • Cet article traitant d’un sujet frontalier avec plusieurs domaines, une certaine culture mathématique (groupe cristallographique, par exemple) aidera à comprendre certains passages – qui ne sont pas nécessaire pour lire le corps du texte.  

  4. Les épi et Hypo trochoïdes, (Epi et Hypo trochoïde) Article vu : 4 fois, depuis le : 02 Nov. 2020, Cet article propose un classement complet des courbes trochoïdales obtenues par roulement sans glissement. L’auteur donne un tableau à double entrée qui permet suivant les divers paramètres (rayons du cercle de base, de roulement et rapport d’élongation) de donner immédiatement la forme de la courbe. La recherche des développées de ces courbes est une application exploitée.

    La théorie complète du Centre Instantané de Rotation est donnée en annexe et donne donc aussi une utilisation cinématique à cet article géométrique. Ces problèmes de roulement se retrouvent dans les problèmes d’engrenages.

    Des simulations animées se trouvent par exemple sur le site de Robert Férréol http://www.mathcurve.com/courbes2d/epitrochoid/epitrochoid.shtml et celui d’Alain Esculier : http://aesculier.fr/ (aller à Rubrique, Maple). En particulier sur  http://aesculier.fr/fichiersMaple/wondergraph/wondergraph.html, on verra un jouet « extraordinaire » datant de 1910, le Wondergraph, qui permet de tracer des courbes plus générales que les épi- et hypo-trochoïdes, obtenues elles-mêmes pour certains réglages particuliers (remarque: pour les liens vers les publicités -du Wondergraph-cliquer avec le click droit de la souris et ouvrir, ou bien désactiver votre anti-spam).

  5. Loi de groupe dans un triangle (2006), (loi de groupe dans un triangle) Article vu : 2 fois, depuis le : 02 Nov. 2020,  

    Une loi de groupe est définie dans un triangle par des conditions de concours et d’alignement. L’auteur montre comment trouver et construire géométriquement l’inverse d’un point, et le composé de deux points, et même les racines carrées d’un point donné.

  6. Géométrie sur une strophoïde (2006), (Géométrie sur une strophoïde) Article vu : 4 fois, depuis le : 02 Nov. 2020, 6 pages Cet article traite d’une condition d’alignement et de cocyclicité de trois et quatre points sur une cubique circulaire. Son but est de montrer qu’on peut avec des calculs très réduits obtenir de très belles propriétés géométriques, qu’il serait difficile d’obtenir par des arguments géométriques (alignement, cocyclicité, bitangence). Le fait de se limiter à une courbe algébrique de degré 3, une strophoïde, ne réduit pas le principe de la méthode, car on peut démontrer qu’en fait ceci est généralisable, étant une conséquence du théorème intégral d’Abel appliqué aux courbes algébriques. Utilisation : conditions d’alignement, de cocyclicité.
     
  7. Les critères d’ERMAKOV, (Ermakov) Article vu : 6 fois, depuis le : 02 Nov. 2020, En 1870 Vassili Petrovitch Ermakov découvre des critères très fins de convergence de séries et d’intégrales ; ces critères se retrouvent (de manière anonyme) dans beaucoup d’exercices d’oraux. L’auteur en rappelle l’énoncé en illustrant leur principe. Erratum: dans le dernier théorème encadré page 2, la suite pn doit être non bornée. Utilisation: convergence des séries numériques.
     
  8. Fermeture Hexagonale, (Fermeture Hexagonale) Article vu : 5 fois, depuis le : 02 Nov. 2020, et le problème d’Agrégation (1947) (problème d’Agrégation 1947) Article vu : 1 fois, depuis le : 03 Nov. 2020qui va avec S’inspirant du problème d’Agrégation de Calcul Différentiel et Intégral (Femmes) 1947 cet article donne un critère de fermeture hexagonale et l’illustre dans le cas de faisceaux de cercles à points de base et de Poncelet, ou de solutions d’équations différentielles à variables séparables. Le dernier bulletin de l’APMEP n°463 d’avril de mars-avril 2006, montre, sous une forme plus élémentaire, que ces problèmes constituent une mine pour l’enseignement : voir l’article de Jean-Pierre Friedelmeyer « Les problèmes de fermeture : une mine d’exercices à ouvrir en classe », p. 267-276.
    Extrait de l’introduction – Les problèmes pouvant donner lieu à des exercices simples, qu’on peut poser en classe, tout en ouvrant à des situations plus élaborées et difficiles sont plutôt rares. Les problèmes de fermeture sont de ceux-là : on peut commencer au collège, continuer au lycée et tomber sur des situations qui paraissent insolubles ou nécessitent des outils très puissants. Souvent, un problème de fermeture facile peut en cacher un autre beaucoup plus difficile : il suffit de modifier légèrement les hypothèses. De sorte que tout un chacun peut, avec un peu d’imagination, inventer ses propres problèmes de fermeture.
     
  9. Le produit d’Hadamard, (Le produit d'Hadamard) Article vu : 4 fois, depuis le : 02 Nov. 2020, de deux séries entières Quel lien y a t-il entre le rayon des séries entières et celui de leur produit d’Hadamard? L’auteur donne à la façon de Cyrano dans la tirade des nez de multiples applications et illustrations dont une formule donnant la somme du produit d’Hadamard en fonction de celles des deux séries arguments.
    Utilisation : variation originale sur les séries entières.  
     
  10. Les motifs de pelage d’animaux, (motifs de pelage d'animaux) Article vu : 5 fois, depuis le : 02 Nov. 2020, Les motifs de pelages d’animaux sont expliqués suivant la théorie de réaction-diffusion due à Turing (qui a contribué à casser les codes secrets de la machine Enigma). Qui croirait que ceci est en fait une illustration de la théorie des équations aux dérivées partielles et d’un problème de conditions aux limites? Ces modélisations servent aussi pour gérer la lutte contre les feux de forêts. Cet article est modélisé par de très belles illustrations sur le site d’Alain Esculier et d’Yann Bouret de l’ENS de Chimie UMR 8640 (lab P9) qui les a conçues à la demande de l’auteur.
    Utilisation : équations au dérivées partielles et chimie, équation de réaction-diffusion.  
     
  11. Loi de groupe sur une surface, (loi de groupe sur une surface) Article vu : 11 fois, depuis le : 02 Nov. 2020, Le lecteur est habitué aux lois de groupe usuelles dans des ensembles algébriques, parfois géométriques plans sur une hyperbole ou une cubique (en liaison avec les critères d’alignement de trois points, succédané des conséquences du théorème d’Abel, et utilisé maintenant en codage elliptique). Voici un exemple de loi de groupe sur une surface. Cette loi a été proposée dans un problème de concours à l’école supérieure des Industries chimiques de Nancy en 1947, dont l’énoncé est partiellement reproduit dans les « Exercices de Géométrie » de E. Râmis.
    Ce sujet fait partie d’une dizaine de problèmes très originaux pour l’époque dont l’auteur était Jean Frédéric Auguste Delsatre, qui était alors le Doyen de la Faculté des Sciences de Nancy. Son thème est le point de départ périodiquement de nombreuses questions d’oral des concours.
    Utilisation : montrer que la théorie des groupes a des illustrations géométriques et ne se réduit pas à des manipulations algébriques.
     
  12. Le problème des nombres gelés de Saint Exupéry, (problème des nombres gelés de Saint Exupéry) Article vu : 4 fois, depuis le : 02 Nov. 2020, Dans le numéro spécial 12-14 de la revue Confluences 1947, numéro spécial consacré à Antoine de Saint Exupéry, dans le chapitre « voyage de l’Universel », écrit par le général Chassin, qui fut le chef de Saint-Exupéry, ce problème est évoqué, annoncé situé dans les annexes où il ne figure pas ! Après une traque de trois ans et huit mois, l’auteur a réussi à retrouver son énoncé, et en donne une solution, en rappelant le problème célèbre du Pharaon.
     
  13. La transformation du Boulanger, (transformation du boulanger) Article vu : 5 fois, depuis le : 02 Nov. 2020, Un petit film de P. Trivic (la Tempête) dans le cadre du « quart-d’heure mathématique » sur les systèmes mélangeant, commenté par le savant géomètre Marcel Berger, diffusé sur la 7 le 24 novembre 1990 à 22h30, présentait une séquence particulièrement percutante : Le portrait de Poincaré -initiateur de la théorie du Chaos- était déstructuré par une transformation dite de la pâte feuilletée (on étale la pâte initialement en carré, et on replace les morceaux débordants pour reconstituer le carré). Puis –oh miracle- au bout de 241 opérations dé-structurantes, le portrait de Poincaré réapparaissait « intact ».
    https://www.pinterest.fr/pin/826269862879203174/
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    Un bon dessin valant mieux qu’un long discours, observez l’image ci-contre, ou bien allez voir ici.
    Le but de cet article est d’expliquer ce qui se passe, en utilisant algèbre linéaire (matrice) et arithmétique (mise en évidence de la période), en l’illustrant sur une image de papillon déstructuré puis ressuscité. On peut observer le phénomène ici.  
     
  14. Le problème des bœufs du Soleil, (problème des bœufs du soleil) Article vu : 6 fois, depuis le : 02 Nov. 2020, 250 ans avant notre ère le savant Archimède (né et mort à Syracuse, ville de Sicile) proposait à Eratosthène de Cyrène, le problème du troupeau du Soleil dont le texte en grec a été retrouvé par Gotthold Ephreim Lessins et publié en 1773.
    Ce texte publié en grec dans le tome III du livre  « Archimède » de Charles Mugler (Société d’édition « les belles Lettres » 1971), numérisé par l’auteur (texte en Grec d’Archimède). L’article donne la traduction en français de l’énoncé d’Archimède et détaille les calculs menant à « la » solution. Celle-ci utilise toutes les finesses de l’arithmétique, de l’algèbre des corps finis, en utilisant aussi la théorie des fractions continues pour solutionner l’équation de Pell-Fermat, clef du problème. L’effectif minimal du troupeau du Soleil est un nombre de 206 545 chiffres, qui occupent 60 pages à l’impression (serrée) et qui commence à gauche par 7760 et se termine par 1800 (pour voir ce nombre cosmique, cliquer ici).
    Le lecteur pourra trouver la procédure sur le web, par exemple sur le site de Philippe Dumas de l’Inria qui donne également de multiples liens. Ce même lecteur trouvera d’autres liens par Google en demandant : troupeau du Soleil Archimède ou les sites anglophones par cattle of the Sun, par exemple celui-ci.
     
  15. La toupie TIPPE-TOP, (toupie TIPPE-TOP) Article vu : 11 fois, depuis le : 02 Nov. 2020, En 1952, dans le commerce des jouets, quand celui ci proposait des objets instructifs et éveillant questions et imagination, humour et habileté manuelle (Wondergraph, père la colique, etc), -contrairement à notre période où les jeux se réduisent à des peluches ou des touches de commande életronique-, une petite toupie en plastique faisait fureur chez les enfants et les adultes d’esprit jeune. Il s’agissait d’une toupie appelée Tippe-Top, de révolution, constituée de deux parties: l’une était une calotte sphérique d’axe z’z, et l’autre un cylindre d’axe z’z emmanché perpendiculairement au plan de la calotte sphérique, l’ensemble formant un seul solide.
    L’originalité de la toupie ainsi formée est qu’une fois lancée, elle se retourne sur son manche, en continuant de tourner. Son mouvement fascina même les deux prix Nobel de physique Pauli et Bohr :
    https://fysikbasen.au.dk/English.php%3Fpage=Vis&id=79.html. Une revue scientifique grand public eut le malheur et l’inconscience de prétendre que cette propriété ne pouvait se justifier scientifiquement : l’année suivante cette toupie faisait l’objet de la partie V du problème d’Agrégation de Mécanique rationnelle 1953, dont l’auteur était Luc Gauthier. Gérard Egheter, dont le site donné bas de colonne 1 de la page 9 de l’article vaut le détour, m’a communiqué le corrigé manuscrit de Jean Frédéric Auguste Delsarte, que sa fille m’a autorisé à reproduire. Ce Normalien (Ulm 1922) fut notamment quatrième à l’Agrégation 1925, membre du groupe Bourbaki, fut Doyen de la faculté des Sciences de Nancy, et dès 1947 il conçut une douzaine de problèmes de concours très originaux pour l’époque (et la nôtre….) en particulier celui des Mines de Nancy 1947 dont vous aurez l’essentiel en allant voir sur culture math, l’article (excellent) loi de groupe sur une surface.
    Le corrigé est dans le TAPE donné en lien (Tiré A Part Electronique aimablement autorisé par le Directeur Olivier Courcelle de la Revue Quadrature 59 (Janvier Mars 2006) « Revue des mathématiques Pures et Epicées) ; Culture Math remercie l’éditeur EDP qui l’a autorisé à diffuser l’article sur le site CultureMath. Voici, en remerciement, un lien vers le site de Quadrature.

    Une bonne animation, valant mieux qu’un long discours rasant allez voir en ici.
    Petite anecdote historique : L’inventeur (1950), le danois Werner Ostberg raconte qu’il a eu l’idée de la toupie tippe top, en observant, dans la jungle sud-américaine, que lorsqu’on coupe le fond d’une calebasse http://fr.wikipedia.org/wiki/Calebasse, il présente, si on le fait tourner, les mêmes propriétés que le tippe-top En fait c’est une re-découverte (voir l’historique page 2 de .http://www.fysikbasen.dk/TippetopENGLISH.php) car l’objet date de 1890 (John Perry) et 1891 (Helene Sperl), si l’on n’accepte pas d’anticiper dès le début des années 1800 par l’étude des anagyres par Sir William Thomson et Hugh Blackburn.  
     
  16. Equations fonctionnelles, (Equations fonctionnelles) Article vu : 6 fois, depuis le : 02 Nov. 2020, Les équations fonctionnelles, par leur diversité, le fait qu’il n’y ait pas de méthode standard ou universelle pour les résoudre, rivalisent aussi bien avec l’arithmétique que la géométrie, pour montrer la richesse des mathématiques. Elles obligent aussi l’étudiant ou le chercheur à appréhender la nécessité d’une argumentation rigoureuse.
    L’extrême variété des domaines où on les rencontre (recherche, problèmes de concours, exercices d’oraux, sujets de compétitions internationales telles que les O.I.M….) ne fait que renforcer leur attrait, d’autant plus que chaque jour amène de nouveaux exemples originaux (sites web, revues, sujets de concours, ou de compétitions,…). L’article qui suit a pour but d’essayer de dégager 6 méthodes principales qui permettent de résoudre quatre vingt dix neuf pour cent des exemples proposés au niveau Classes Préparatoires Scientifiques.

    Les cinq premières pages (sur 14) de cet article ont été publiées dans la revue Quadrature (Magazine de mathématiques pures et épicées (http://www.quadrature-journal.org/) de Juillet-Septembre 2004, numéro 53 pages 7-12; elle sont reproduites, avec l’aimable autorisation du rédacteur en chef Olivier Courcelle, que nous remercions.
    Les neuf pages suivantes sont un catalogue d’exemples (trente cinq) très divers, avec leur référence précise et l’indication de leur solution. Pour garder une dimension raisonnable à l’article publié dans Quadrature, elles n’avaient pas été publiées, mais la dernière note de l’article précisait que les lecteurs intéressés, pouvaient demander leur envoi, ce que beaucoup ont fait à l’époque. Les voici rendues accessibles au plus grand nombre. Pour d’autres pistes et d’autres références bibliographiques les lecteurs peuvent se reporter à l’article « Racine carrée fonctionnelle » du même auteur, sur le site de CultureMath.
     
  17. Jauge d’une cuve à mazout, (Jauge d'une cuve à mazout) Article vu : 4 fois, depuis le : 02 Nov. 2020, Il s’agit d’étalonner une jauge de cuve à Mazout cylindrique bombée, horizontale, et d’utiliser du calcul intégral pour établir la formule exacte de cette jauge.
     
  18. Le prix STEINER, (prix Steiner) Article vu : 4 fois, depuis le : 02 Nov. 2020, Dans l’article sur les intégrales de Coxeter, nous avons évoqué, le parcours exceptionnel du mathématicien suisse autodidacte Ludwig Schläfli. Il reçut le prix Steiner en 1930, pour sa découverte -avant Juel- des 27 droites d’une surface cubique non réglée (voir sur le site culture math, un excellent et audacieux article sur ce sujet). Le but de cet article est de rendre accessible la liste exhaustive des lauréats de ce prix, qui furent tous des savants d’envergure internationale.
    Cet article a été publié dans la revue Quadrature (« Magazine de Mathématiques pures et épicées ») numéro 56 AVRIL JUIN 2005 P 30-31. L’éditeur EDP nous a autorisé à le reproduire sur le site culture Math et nous l’en remercions. Voici un lien vers le site de Quadrature http://www.quadrature-journal.org/